Interpolasi Lagrange
Dalam mengemukakan interpolasi lagrange terlebih dahulu akan dikemukakan teorema berikut yang dalam hal ini pembuktiannya tidak disertakan di dalam tulisan ini.
Teorema 6.2.1
Terdapat satu dan hanya satu polinom derajat yang £
n yang melalui semua pasangan titik
n yang melalui semua pasangan titik
Terdapat beberapa kasus yang muncul dari teorema ini.
- Kasus Linear
Ada dua titik (x0, y0) dan (x1, y1), melalui kedua titik ini dapat dibuat suatu bentuk polinom dengan derajat satu, yaitu P1(x).
P1(x) º
y = y0 + y1
y = y0 + y1
Maka diperoleh
P1(x) = y0 + y1 (6.2.1)
Untuk x = x0 maka P1(x0) = 1 y0 + 0 y1 = y0
Untuk x = x1 maka P1(x1) = 0 y0 + 1 y1 = y1
b. Kasus Kuadrat
Untuk kasus kuadrat harus ada tiga titik yang dilewati, yaitu (x0, y0), (x1, y1), dan (x2, y2). Bentuk polinom sebagai berikut.
P2(x) = y0 + y1 + y2 (4.2.2)
Notasikan :
l0(x) = (6.2.2a)
l1(x) = (4.2.2.b)
l2(x) = (6.2.2c)
Dan akan diperoleh
l0(xj) = 1 , j = 0
0 , j
¹ 1, 2
¹ 1, 2
l1(xj) = 1 , j = 1
0 , j
¹ 0, 2
¹ 0, 2
l2(xj) = 1 , j = 2
0 , j ¹ 0, 1
atau secara umum diperoleh
li(xj) = 1 , j = i
0 , j ¹ i
sehingga bentuk polinom di atas menjadi
P2(x) = (4.2.3)
Polinom P2(x) ini akan melalui ketiga titik di atas.
- Kasus Kubik
Untuk kasus kubik harus ada tiga titik yang dilewati, yaitu (x0,y0), (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3). Bentuk Polinom sebagai berikut.
P3(x) = y0 + y1 + y2 + y3 (4.2.4)
dan dapat dinyatakan dalam bentuk
P3(x) = (6.2.5)
Dengan bentuk umum dari li (x) adalah
li(x) = (6.2.6)
d. Kasus Secara Umum
Untuk n + 1 titik data akan diperoleh bentuk polinom sebagai berikut.
Pn(x) = (6.2.7)
6.3 Polinom Interpolasi Beda Terbagi Newton
Adakalanya kita membutuhkan beberapa polinomial untuk mengaproksimasi, yaitu P1(x), P2(x), … , Pn(x), kemudian kita memilih salah satu yang paling tepat dan akurat. Jika di dalam polinomial Lagrange tidak ada hubuingan yang rekursive antara PN-1(x) dan Pn(x), tetapi di dalam polinomial Newton mempunyai pendekatan rekursive. Bentuknya adalah sebagai berikut.
P1(x) = a0 + a1(x – x0) (6.3.1)
P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0) (x – x1) (6.3.2)
P3(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0) (x – x1) + a3(x – x0) (x – x1)(x – x2) (6.3.3)
…
PN(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0) (x – x1) + a3(x – x0) (x – x1)(x – x2)+ a4(x – x0) (x – x1)(x – x2)(x – x3) + … + aN(x – x0) (x – x1)(x – x2)(x – x3) …(x – xN – 1)
(6.3.4)
Dalam hal ini PN(x) diperoleh dari PN-1(x) dengan menggunakan hubungan yang rekursive, yaitu
PN(x) = P N-1(x) + aN(x – x0) (x – x1)(x – x2)(x – x3) …(x – xN – 1) (6.3.5)
Polinomial (6.3.4) disebut polinomial Newton dengan N buah titik pusat, yaitu x0, x1, x2, … , xN-1. Sehingga PN(x) akan merupakan suatu polinomial dengan derajat yang lebih kecila daripada 1.
Beda Terbagi (Divided Difference)
Dari titik-titik data (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), …, (xN, f(xN)) didefinisikan hal-hal berikut.
Beda terbagi pertama:
f[x0, x1] =
f[x1,x0] = = = f[x0, x1] (6.3.6)
Beda terbagi kedua :
f[x0,x1,x2] = (6.3.7)
dapat dibuktikan bahwa f[x0,x1,x2] = f[x1, x0,x2]
Beda terbagi ketiga
f[x0,x1,x2,x3] = (6.3.8)
Secara Umum :
f[x0,x1,x2,…, xn] = (6.3.9)
Tabel beda terbagi
xk f(xk) f[ , ] f[ ,, ] f[ ,,, ]
x0 f(x0)
x1 f(x1) f[x0, x1]
x2 f(x2) f[x1, x2] f[x0, x1, x2]
x3 f(x3) f[x2, x3] f[x1, x2, x3] f[x0, x1, x2, x3]
x4 f(x4) f[x3, x4] f[x2, x3, x4] f[x1, x2, x3, x4]
.
.
.Kasus linear
P1(x) = b0 + b1(x – x0)
Melalui (x0, f(x0)) Þ
f(x0) = b0 + b1(x0 – x0)
f(x0) = b0 + b1(x0 – x0)
\
b0 = f(x0)
b0 = f(x0)
Melalui (x1, f(x1)) Þ f(x1) = b0 + b1(x1 – x0)
= f(x0 ) + b1(x1 – x0)
b1 = = f[x0, x1]
Jadi, P1(x) = f(x0 ) + f[x0, x1](x1 – x0) (6.3.10)
Kasus kuadrat :
P2(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0) (x – x1) (6.3.11)
P2(x) = P1(x) + a2(x – x0) (x – x1) (6.3.12)
Melalui (x2, f(x2 ))
f(x2) = P1(x2) + a2(x2 – x0) (x2 – x1) (6.3.13)
= f(x0 ) + f[x0, x1](x2 – x0) + a2(x2 – x0) (x2 – x1) b2 =
=
= f [x0, x1,x3]
P2(x) = P1(x) + f[x0, x1, x2](x – x0) (x – x1) (6.3.14)
Analog untuk kasus kubik :
P3(x) = P2(x) + f(x0, x1, x2, x3](x – x0)(x – x1)(x – x2) (6.3.15)
...
Pn(x) = Pn-1(x) + f[x0, x1, … , xn](x – x0)(x – x1) … (x – xn-1) (6.3.16)
Pn(x) = f(x0) + ; dengan bi = f[x0, x1, … , xi] (6.3.17)
Polinom Beda Terbagi Newton
Pada polinom beda terbagi Newton, jarak antara titik data adalah sama. Misalkan titik-titik x0 < x1 < x2 < … < xN, maka x1 – x0 = x2 – x1 = … = xN – xN-1 = h. Jika nilai fungsi untuk x = xi adalah f(xi), notasikan f(xi) = fi, maka beda terbagi Newton untuk berbagai kasus adalah sebagai berikut.
f[x0, x1] = (6.4.1)
f[x0, x1, x2] = (6.4.2)
f[x0, x1, x2, x3] =
=
=
No comments:
Post a Comment